par sos-math(21) » lun. 19 oct. 2020 16:42
Bonjour,
le raisonnement par récurrence est un type de raisonnement très souvent utilisé en mathématiques et qui permet de justifier des propriétés dépendant d'un entier naturel \(n\).
Je vais te faire la rédaction de la première question afin que tu voies comment cela se passe.
On veut montrer par récurrence sur \(n\in\mathbb{N}\) la propriété \(\mathcal{P}_n\) suivante : \(u_n\geqslant n\).
Une démonstration par récurrence se décompose en deux temps :
Premier temps : initialisation. On vérifie que la propriété est vraie au rang 0, c'est à dire qu'on remplace \(n\) par 0 dans l'inégalité et on regarde si celle-ci est vraie. On sait que \(u_0=0\) donc on a bien \(u_0\geqslant 0\), ce qui est la propriété \(\mathcal{P}_0\) donc \(\mathcal{P}_0\) est vraie et la propriété est donc vraie au rang 0.
Deuxième temps : hérédité. On suppose qu'il existe un rang \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(\mathcal{P}_n\) soit vraie.
On suppose donc qu'à ce rang, on a \(u_n\geqslant n\). Il faut ensuite qu'on montre que la propriété est vraie au rang \(n+1\)
On exprime donc \(u_{n+1}=3u_n-2n+3\). Or on sait que \(u_n\geqslant n\) donc \(3{\color{red}{u_n}}-2n+3\geqslant 3{\color{red}n}-2n+3\)
Or \(3n-2n+3=n+3\) qui est bien supérieur à \(n+1\). Finalement on a donc
\(u_{n+1}\geqslant 3{\color{red}n}-2n+3\geqslant n+1\) et on obtient bien que la propriété \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie.
Finalement on a montré l'implication (\(\mathcal{P}_n\) vraie )\(\Rightarrow\) (\(\mathcal{P}_{n+1}\) vraie), ce qui montre que la propriété est héréditaire car la véracité de \(\mathcal{P}_n\) entraine celle de \(\mathcal{P}_{n+1}\)
En conclusion, le principe de récurrence permet de conclure que la propriété \(\mathcal{P}_n\) est vraie pour tout entier naturel \(n\), ce qui termine la démonstration.
Bonne continuation pour la suite de l'exercice
Bonjour,
le raisonnement par récurrence est un type de raisonnement très souvent utilisé en mathématiques et qui permet de justifier des propriétés dépendant d'un entier naturel \(n\).
Je vais te faire la rédaction de la première question afin que tu voies comment cela se passe.
On veut montrer par récurrence sur \(n\in\mathbb{N}\) la propriété \(\mathcal{P}_n\) suivante : \(u_n\geqslant n\).
Une démonstration par récurrence se décompose en deux temps :
[b]Premier temps : initialisation[/b]. On vérifie que la propriété est vraie au rang 0, c'est à dire qu'on remplace \(n\) par 0 dans l'inégalité et on regarde si celle-ci est vraie. On sait que \(u_0=0\) donc on a bien \(u_0\geqslant 0\), ce qui est la propriété \(\mathcal{P}_0\) donc \(\mathcal{P}_0\) est vraie et la propriété est donc vraie au rang 0.
[b]Deuxième temps : hérédité.[/b] On suppose qu'il existe un rang \(n\in\mathbb{N}\) tel que \(\mathcal{P}_n\) soit vraie.
On suppose donc qu'à ce rang, on a \(u_n\geqslant n\). Il faut ensuite qu'on montre que la propriété est vraie au rang \(n+1\)
On exprime donc \(u_{n+1}=3u_n-2n+3\). Or on sait que \(u_n\geqslant n\) donc \(3{\color{red}{u_n}}-2n+3\geqslant 3{\color{red}n}-2n+3\)
Or \(3n-2n+3=n+3\) qui est bien supérieur à \(n+1\). Finalement on a donc
\(u_{n+1}\geqslant 3{\color{red}n}-2n+3\geqslant n+1\) et on obtient bien que la propriété \(\mathcal{P}_{n+1}\) est vraie.
Finalement on a montré l'implication (\(\mathcal{P}_n\) vraie )\(\Rightarrow\) (\(\mathcal{P}_{n+1}\) vraie), ce qui montre que la propriété est héréditaire car la véracité de \(\mathcal{P}_n\) entraine celle de \(\mathcal{P}_{n+1}\)
[b]En conclusion[/b], le principe de récurrence permet de conclure que la propriété \(\mathcal{P}_n\) est vraie pour tout entier naturel \(n\), ce qui termine la démonstration.
Bonne continuation pour la suite de l'exercice
