Bonjour cloe,
la récurrence se fait en deux étapes.
première étape : "initialisation" ici pour k = 1 car on vaut montrer la propriétéà partir un rang k = 1.
¨Pour k = 1 f[tex]^{(k)}[/tex] est la dérivée de f. Tu compare le résultat trouvé précédemment à
(-1)[tex]^{1}[/tex] [tex]\frac{1!}{(a+x)^{1+1}}[/tex] si j'ai bien vu ta formule.
deuxième étape : "hérédité" . On choisit un entier k tel que l'égalité est vérifiée f^(k)(x)= (-1)^kK!/(a+x)^k+1.
On doit alors montrer l'égalité au rang suivant. Il faut calculer f[tex]^{(k+1)}donc dériver f^{(k)}[/tex].
et retrouver (-1)[tex]^{k+1}[/tex] [tex]\frac{(k+1)!}{(a+x)^{k+1+1}}[/tex].
Bonne continuation

Oui du coup je me suis rendue compte après de mon erreur et je l'ai corrigé !

j'ai réussi jusqu'à la question 3 avec l'aide de ma prof, je vais tenter la suite mais je ne suis pas contre pour un peu d'aide^^

Bonjour Cloé,

Une petite erreur à corriger dans [TeX]f^{(3)}(x)[/TeX].

Je trouve [TeX]x^4[/TeX] au dénominateur

Il faudra donc aussi corriger [TeX]f^{(4)}(x)[/TeX]

Pour la conjecture, ce n'est pas si simple. La puissance au dénominateur devrait se voir facilement mais au numérateur... je te laisse chercher.

Bon courage

Bonjour,
j'ai un exercice de math à rendre en DM, mais la je sèche...

voici le sujet :
Soit f la fonction inverse définie par : f(x)=1/x
Soit k un entier naturel. On considère la dérivée k-ième de f notée f^(k)(x).
Ainsi f^(1)(x)= -1/x^2
f^(2)(x)= 2/x^3
1) Calculer f^(3)(x) et f^(4)(x).
j'ai trouvé pour cette question f^(3)(x)=-6/x^3 et f^(4)(x)= 18/x^4

2) Conjecturer une formule de f^(k)(x).
3)Démontrer cette formule par récurrence sur k>=1.
4)Démontrer par récurence sur k>=1 que, pour f(x)=1/a+x, avec a réel: f^(k)(x)= (-1)^kK!/(a+x)^k+1

Merci d'avance pour une éventuelle piste de réponse