par sos-math(21) » ven. 4 sept. 2020 21:21
Bonjour,
le théorème de Green-Riemann permet de calculer des intégrales sur un compact \(K\) en fonction d'une intégrale curviligne le long de sa frontière \(\partial K\). Pour pouvoir s'appliquer, il faut que le compact vérifie certaines conditions de régularité : il faut que \(K\) soit un compact à bord, ce qui se traduit intuitivement que sa frontière est une courbe orientable et \(\mathcal{C}^1\) par morceaux.
Il peut s'utiliser pour calculer l'aire de certaines surfaces fermées délimitées par des courbes.
Par exemple, si \(K\) est un compact à bord, son aire \(\mathcal{A}=\iint_{K}^{}dxdy\) peut s'exprimer, d'après le théorème de Green Riemann, avec la forme différentielle \(\alpha = Pdx+Qdy=ydx+xdy\) :
\(\displaystyle \int_{\partial K^{+}}^{} (ydx+xdy)=\iint_{K}^{}\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}(x,y)-\dfrac{\partial P}{\partial y}(x,y)\right)dxdy=\iint_{K}^{}(1-1)dxdy=0\) donc \(\displaystyle \int_{\partial K^{+}}^{} xdy=- \int_{\partial K^{+}}^{} ydx\)
De même avec la forme différentielle \(\beta = -ydx+xdy\), on a
\(\displaystyle \int_{\partial K^{+}}^{} (-ydx+xdy)=\iint_{K}^{}\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}(x,y)-\dfrac{\partial P}{\partial y}(x,y)\right)dxdy=2\iint_{K}^{}dxdy=2\mathcal{A}\)
ainsi l'aire du compact vérifie :
\(\displaystyle\mathcal{A}=\int_{\partial K^{+}}^{}xdy=-\int_{\partial K^{+}}^{}ydx=\dfrac{1}{2}\int_{\partial K^{+}}^{}(xdy-ydx)\)
Donc si on applique cela à une ellipse avec \(x=a\cos(t)\) et \(y=b\sin(t)\) avec \(t\in[0\,;\,2\pi]\), on a :
\(\displaystyle \mathcal{S}=-\int_{\partial K^{+}}^{}ydx=-\int_{0}^{2\pi}b\sin(t)(-a\sin(t))dt=ab\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}(t)dt\) soit en calculant cette intégrale (en linéarisant \(\sin^{2}(t)=\dfrac{1-\cos(2t)}{2}\) ), on a \(\displaystyle \mathcal{S}=\dfrac{ab}{2}\int_{0}^{2\pi}(1-\cos(2t))dt=\dfrac{ab}{2}\left[ t-\frac{1}{2}\sin(2t)\right] _{0}^{2\pi}=\pi ab\)
Et on retrouve l'aire de l'ellipse.
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation
Bonjour,
le théorème de Green-Riemann permet de calculer des intégrales sur un compact \(K\) en fonction d'une intégrale curviligne le long de sa frontière \(\partial K\). Pour pouvoir s'appliquer, il faut que le compact vérifie certaines conditions de régularité : il faut que \(K\) soit un compact à bord, ce qui se traduit intuitivement que sa frontière est une courbe orientable et \(\mathcal{C}^1\) par morceaux.
Il peut s'utiliser pour calculer l'aire de certaines surfaces fermées délimitées par des courbes.
Par exemple, si \(K\) est un compact à bord, son aire \(\mathcal{A}=\iint_{K}^{}dxdy\) peut s'exprimer, d'après le théorème de Green Riemann, avec la forme différentielle \(\alpha = Pdx+Qdy=ydx+xdy\) :
\(\displaystyle \int_{\partial K^{+}}^{} (ydx+xdy)=\iint_{K}^{}\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}(x,y)-\dfrac{\partial P}{\partial y}(x,y)\right)dxdy=\iint_{K}^{}(1-1)dxdy=0\) donc \(\displaystyle \int_{\partial K^{+}}^{} xdy=- \int_{\partial K^{+}}^{} ydx\)
De même avec la forme différentielle \(\beta = -ydx+xdy\), on a
\(\displaystyle \int_{\partial K^{+}}^{} (-ydx+xdy)=\iint_{K}^{}\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}(x,y)-\dfrac{\partial P}{\partial y}(x,y)\right)dxdy=2\iint_{K}^{}dxdy=2\mathcal{A}\)
ainsi l'aire du compact vérifie :
\(\displaystyle\mathcal{A}=\int_{\partial K^{+}}^{}xdy=-\int_{\partial K^{+}}^{}ydx=\dfrac{1}{2}\int_{\partial K^{+}}^{}(xdy-ydx)\)
Donc si on applique cela à une ellipse avec \(x=a\cos(t)\) et \(y=b\sin(t)\) avec \(t\in[0\,;\,2\pi]\), on a :
\(\displaystyle \mathcal{S}=-\int_{\partial K^{+}}^{}ydx=-\int_{0}^{2\pi}b\sin(t)(-a\sin(t))dt=ab\int_{0}^{2\pi}\sin^{2}(t)dt\) soit en calculant cette intégrale (en linéarisant \(\sin^{2}(t)=\dfrac{1-\cos(2t)}{2}\) ), on a \(\displaystyle \mathcal{S}=\dfrac{ab}{2}\int_{0}^{2\pi}(1-\cos(2t))dt=\dfrac{ab}{2}\left[ t-\frac{1}{2}\sin(2t)\right] _{0}^{2\pi}=\pi ab\)
Et on retrouve l'aire de l'ellipse.
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation
