par sos-math(21) » mar. 7 juil. 2020 07:51
Bonjour,
pour déterminer l'image de la droite (D) d'équation y=x, il cherche à obtenir un maximum d'informations sur celle-ci en calculant selon les cas des images de points ou de vecteurs directeurs afin de caractériser au mieux cette image :
Dans le premier cas, on a une translation de vecteur d'affixe 1+i qui est un vecteur directeur de (D) donc celle-ci est invariante par cette translation donc f(D)=D
Dans le deuxième cas, il s'agit d'une symétrie centrale de centre A d'affixe 12 donc celle-ci transforme (D) en une droite parallèle passant par l'image d'un point de (D), par exemple l'image de O qui est le point O′ d'affixe 1. La droite (D′) est donc la parallèle à la droite (D) d'équation y=x donc elle a le même coefficient directeur, son équation s'écrit alors y=x+b. Sachant qu'elle passe par O′(1;0), on a b=−1 donc y=x−1.
Pour le troisième cas, c'est une rotation de centre B d'affixe 1,5+0,5i et d'angle π2 donc l'image de (D) fera un angle droit avec (D) et passera par l'image de O qui est le point O′ d'affixe 2−i. Lorsque deux droites sont perpendiculaires, le produit de leurs coefficients directeurs est égal à −1 (conséquence du produit scalaire nul des vecteurs directeurs), donc (D′) a pour équation y=−x+b. Comme elle passe par O′(2;−1) on en déduit que y=−x+1.
Pour le dernier cas, c'est une similitude de la forme z′=az+b avec |a|=1 donc c'est une rotation, dont on cherche le point fixe qui aura pour affixe b1−a=2 et cette rotation aura pour angle arg(a)=2π3.
Comme c'est un peut plus compliqué au niveau de l'expression, on recherche l'image de deux points de la droite (D) : O′(3;−√3) et I′(5−√32;√3−12) et on calcule le vecteur →O′I′ qui sera alors un vecteur directeur de (D′).
Ainsi on a la droite (D′) qui passe par O′(3;−√3) et de vecteur directeur →O′I′(−1−√323√3−12).
Cela signifie que si on prend un point M(x;y) du plan, celui-ci appartient à (D′) si et seulement si les vecteurs →O′M(x−3y+√3) et →O′I′(−1−√323√3−12) sont colinéaires.
Le déterminant de ces deux vecteurs doit donc être nul, ce qui mène à l'équation.
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation
Bonjour,
pour déterminer l'image de la droite (D) d'équation y=x, il cherche à obtenir un maximum d'informations sur celle-ci en calculant selon les cas des images de points ou de vecteurs directeurs afin de caractériser au mieux cette image :
Dans le premier cas, on a une translation de vecteur d'affixe 1+i qui est un vecteur directeur de (D) donc celle-ci est invariante par cette translation donc f(D)=D
Dans le deuxième cas, il s'agit d'une symétrie centrale de centre A d'affixe 12 donc celle-ci transforme (D) en une droite parallèle passant par l'image d'un point de (D), par exemple l'image de O qui est le point O′ d'affixe 1. La droite (D′) est donc la parallèle à la droite (D) d'équation y=x donc elle a le même coefficient directeur, son équation s'écrit alors y=x+b. Sachant qu'elle passe par O′(1;0), on a b=−1 donc y=x−1.
Pour le troisième cas, c'est une rotation de centre B d'affixe 1,5+0,5i et d'angle π2 donc l'image de (D) fera un angle droit avec (D) et passera par l'image de O qui est le point O′ d'affixe 2−i. Lorsque deux droites sont perpendiculaires, le produit de leurs coefficients directeurs est égal à −1 (conséquence du produit scalaire nul des vecteurs directeurs), donc (D′) a pour équation y=−x+b. Comme elle passe par O′(2;−1) on en déduit que y=−x+1.
Pour le dernier cas, c'est une similitude de la forme z′=az+b avec |a|=1 donc c'est une rotation, dont on cherche le point fixe qui aura pour affixe b1−a=2 et cette rotation aura pour angle arg(a)=2π3.
Comme c'est un peut plus compliqué au niveau de l'expression, on recherche l'image de deux points de la droite (D) : O′(3;−√3) et I′(5−√32;√3−12) et on calcule le vecteur →O′I′ qui sera alors un vecteur directeur de (D′).
Ainsi on a la droite (D′) qui passe par O′(3;−√3) et de vecteur directeur →O′I′(−1−√323√3−12).
Cela signifie que si on prend un point M(x;y) du plan, celui-ci appartient à (D′) si et seulement si les vecteurs →O′M(x−3y+√3) et →O′I′(−1−√323√3−12) sont [b]colinéaires[/b].
Le[b] déterminant de ces deux vecteurs doit donc être nul[/b], ce qui mène à l'équation.
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation