Bonjour,
la combinaison linéaire nulle pour tout réel \(x\) doit te permettre d'obtenir les coefficients nuls en prenant :
\(x=0\) tu obtiens des informations sur les coefficients.
Ensuite, tu peux dériver (plusieurs fois peut-être) ta relation qui te donnera d'autres informations sur les coefficients.
Ce ne sont que des pistes à tester mais cela devrait te faire avancer
Ta matrice a deux colonnes nulles donc elle est de rang inférieur ou égal à deux. De plus, les deux autres colonnes sont indépendantes donc elle est de rang 2. Ce qui prouve que l'image de l'application linéaire associée est de rang 2 : \(rg(f)=dim(Im(f))\).
Pour déterminer l'image d'une application linéaire dont une matrice est donnée, il s'agit de regarder le nombre de colonnes linéairement indépendantes de ta matrice en faisant des opérations sur les colonnes et les lignes de la matrice, cela donne le rang puis te permet de trouver une base de \(Im(f)\).
Ensuite, par le théorème du rang, la dimension du noyau est facile à trouver et une base de ce noyau s'obtient en reprenant les vecteurs de la base de départ qui mènent à des colonnes nulles. On reprend alors la combinaison de opérations sur les vecteurs de base permettant d'obtenir la colonne nulle.
Si tu veux voir des exemples, je te suggère de consulter cette page, notamment l'exo 8:
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00162.pdf
Pour la question 4a, tu utilises le théorème du rang que je viens de citer qui te permet de trouver la dimension du noyau. Comme tu as montré que ton noyau contenait deux vecteurs linéairement indépendants \((f_1,f_3)\), tu as une famille libre de cardinal 2 dans un sev de dimension 2 donc cette famille est une base
Pour la 5 ème question, appliquer \(D_{\alpha}^{-1}\) signifie multiplier l'égalité matricielle par cette matrice, ce qui permet d'isoler \(D_{\alpha}^{-1}\) et obtenir une expression de celle-ci en fonction des autres puissances de \(D_{\alpha}\).
Pour la dernière question, tu as une équation différentielle qui met en relation \(f^{(4)}\) (dérivée quatrième) et \(f\) qui est deux fois dérivable donc cela prouve bien que la fonction \(f^{(4)}\) est encore deux fois dérivable soit 6 fois dérivable. En réutilisant cette relation plusieurs fois de suite, on augmente de proche en proche le degré de dérivabilité.
Bonne continuation
