Rebonjour,
Disons que ce sont les principes de base de l'algèbre linéaire :
une famille génératrice (ou une base si celle-ci est aussi libre) permet d'exprimer n'importe quel élément de l'espace vectoriel, un petit peu comme les nombres premiers permettent d'exprimer tous les nombres entiers.
Si on arrive à démontrer une propriété sur les vecteurs d'une famille génératrice, alors cette propriété sera vraie pour tout vecteur de l'espace vectoriel.
Je n'ai pas d'exemple de sujet de concours mais il faut que tu te dises que, dès que tu auras un sujet d'algèbre linéaire, c'est un principe qui pourra s'appliquer, donc il faut l'avoir en tête.
Bonne continuation

Ah oui merci beaucoup j'ai enfin compris où intervenait la linéarité !!

Et donc c'est classique ? Ça tombe souvent aux concours alors ?

Est-ce que vous connaîtriez comme ça dès questions-types qui sont très classiques en algèbre linéaire et qui tombent souvent ?

Ça m'aiderait bcp pour les révisions

Merci énormément !

Bonjour,
tu travailles ici sur une application linéaire $T$ d'un espace vectoriel de fonctions. Donc $T$ est l'application linéaire et $T(f)$ est l'image du vecteur $f$, ici une fonction par l'application $T$ : un peu comme $f$ et $f(x)$, $T$ est l'application globale, $T(f)$ est une image particulière.
Pour $T(Fw)\subset Fw$, il suffit de considérer les vecteurs générateurs de ton espace vectoriel $Fw$, à savoir $\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3,\varphi_4$ et de vérifier que leurs images respectives sont bien dans $Fw$.
C'est bien le cas puisque les calculs effectifs des images amènent :
$T(\varphi_1)=\alpha\varphi_1\in Fw$
$T(\varphi_2)=\beta\varphi_2\in Fw$
$T(\varphi_3)=\gamma\varphi_2+\delta\varphi_3\in Fw$
$T(\varphi_4)=\lambda \varphi_1+\theta \varphi_4\in Fw$

Une fois cela prouvé, c'est terminé, car tout élément élément de $Fw$ s'écrivant $\varphi=\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\lambda_3\varphi_3+\lambda_4\varphi_4$, son image s'écrira par linéarité de $T$ : $T(\varphi)=\lambda_1 \underbrace{T(\varphi_1)}_{\in Fw}+\lambda_2 \underbrace{T(\varphi_2)}_{\in Fw}+\lambda_3 \underbrace{T(\varphi_3)}_{\in Fw}+\lambda_4 \underbrace{T(\varphi_4)}_{\in Fw}$
donc on aura $T(\phi)\in Fw$ ce qui prouvera $T(Fw)\subset Fw$.
Est-ce plus clair ? C'est une démarche classique en algèbre linéaire, on démontre une propriété pour une famille génératrice ou une base d'un espace vectoriel et on en déduit la propriété sur tout vecteur de cet espace vectoriel, par linéarité.
Bonne continuation

Bonsoir

Et voilà je suis dans les maths maintenant c'est vraiment des questions de sujets de maths. Ici une question d'algèbre :

Énoncé : https://www.cjoint.com/c/JFirWY3NJdB
Corrigé P1 : https://www.cjoint.com/c/JFisbEjdhGB
Corrigé P2 : https://www.cjoint.com/c/JFisduns7OB
Corrigé P3 : https://www.cjoint.com/c/JFisalWx02B

J'ai pas mis dans mes pièces jointes l'expression de T(f)(x) désolée mais vous pouvez la déduire de la correction de la question 1.b.

Dans la question 1.b, comment montrer que T(Fw) C Fw ? Je comprend pas la correction....

Aussi : quelle est la différence entre T(f) et T ? Y a-t-il une différence ?

Merci bcp pour toute l'aide apportée