par sos-math(21) » sam. 13 juin 2020 08:19
Bonjour,
on considère des propositions X_1,....,X_n qui sont faites à un artiste et on veut savoir quelle est la probabilité que le maximum soit atteint parmi les r premières propositions qui sont systématiquement refusées par l'artiste, ce qui est la traduction de l'événement "la vente ne se fera pas\).
Donc on définit M le maximum des X_i et on considère qu'il est atteint pour un certain rang k, ce qui signifie que X_k est strictement supérieur à tous les X_i, lesquelles sont toutes deux à deux distinctes, donc cela revient à placer le maximum M à une certaine position d'une liste de n éléments et à positionner les n-1 éléments restants aux n-1 emplacements restants. La position de M étant fixée, cela correspond donc à une permutation de n-1 éléments (et ce n'est pas une combinaison car l'ordre compte car on fait la distinction entre les éléments) et on sait par le dénombrement classique qu'il y a (n-1)! possibilités.
L'ensemble des possibilités de placements des n éléments correspondant lui-même à une permutation de n éléments, on a n! possibilités.
Étant dans un cas d'équiprobabilité, on fait le rapport des deux nombres d'où le \dfrac{1}{n}.
Ensuite, on regarde le cas où le maximum se situerait parmi les r premières propositions, ce qui mènerait à la non-réalisation de la vente.
Cela revient à considérer l'événement \displaystyle B=\bigcup_{i=1}^{r}(M=Xi), car on cherche à ce que le maximum soit parmi un des X_i, 1\leqslant i \leqslant r.
Ces événements étant deux à deux incompatibles,la probabilité de leur union est égale à la somme de leur probabilité, qui est la même pour tous, à savoir ce que l'on vient de calculer \dfrac{1}{n}, donc on a \dfrac{r}{n}.
Cette propriété peut alors servir pour calculer l'événement C_k. Je te conseille de reprendre la deuxième méthode proposée en remarque et qui me semble bien plus adaptée, en terme de logique, pour obtenir la probabilité de C_k, car on ré-appplique le même principe précédent, alors que la méthode présentée en première intention utilise des probabilités composées (probabilités conditionnelles).*
Est-ce plus clair ?
Bonjour,
on considère des propositions X_1,....,X_n qui sont faites à un artiste et on veut savoir quelle est la probabilité que le maximum soit atteint parmi les r premières propositions qui sont systématiquement refusées par l'artiste, ce qui est la traduction de l'événement "la vente ne se fera pas\).
Donc on définit M le maximum des X_i et on considère qu'il est atteint pour un certain rang k, ce qui signifie que X_k est strictement supérieur à tous les X_i, lesquelles sont toutes deux à deux distinctes, donc cela revient à placer le maximum M à une certaine position d'une liste de n éléments et à positionner les n-1 éléments restants aux n-1 emplacements restants. La position de M étant fixée, cela correspond donc à une permutation de n-1 éléments (et ce n'est pas une combinaison car l'ordre compte car on fait la distinction entre les éléments) et on sait par le dénombrement classique qu'il y a (n-1)! possibilités.
L'ensemble des possibilités de placements des n éléments correspondant lui-même à une permutation de n éléments, on a n! possibilités.
Étant dans un cas d'équiprobabilité, on fait le rapport des deux nombres d'où le \dfrac{1}{n}.
Ensuite, on regarde le cas où le maximum se situerait parmi les r premières propositions, ce qui mènerait à la non-réalisation de la vente.
Cela revient à considérer l'événement \displaystyle B=\bigcup_{i=1}^{r}(M=Xi), car on cherche à ce que le maximum soit parmi un des X_i, 1\leqslant i \leqslant r.
Ces événements étant deux à deux incompatibles,la probabilité de leur union est égale à la somme de leur probabilité, qui est la même pour tous, à savoir ce que l'on vient de calculer \dfrac{1}{n}, donc on a \dfrac{r}{n}.
Cette propriété peut alors servir pour calculer l'événement C_k. Je te conseille de reprendre la deuxième méthode proposée en remarque et qui me semble bien plus adaptée, en terme de logique, pour obtenir la probabilité de C_k, car on ré-appplique le même principe précédent, alors que la méthode présentée en première intention utilise des probabilités composées (probabilités conditionnelles).*
Est-ce plus clair ?