par sos-math(21) » lun. 25 mai 2020 08:19
Bonjour,
les résolutions des équations différentielles mènent aux solutions qui sont des espaces vectoriels de dimension 1, qui sont donc générés par des vecteurs (en l'occurrence, ici, ces vecteurs sont des fonctions).
On a donc la forme des vecteurs directeurs qui seront des solutions polynomiales si et seulement si leurs exposants sont des nombres entiers.
La combinaison de cette condition sur les 3 vecteurs solutions impose que \(\lambda\in\left\lbrace 3,1,-1\right\rbrace\).
On en déduit ensuite trois vecteurs générateurs des espaces de solutions.
Lorsqu'on réinjecte ces solutions dans l'équation différentielle de départ, on obtient une relation du type \(f(e_i)=ie_i\), avec \(f\) l'application linéaire de départ, ce qui prouve que les \(e_i\) sont des vecteurs propres associées aux valeurs propres \(i\in\left\lbrace 3,1,-1\right\rbrace\).
Ce qui prouve que \(f\), endomorphisme d'un espace de dimension 3, possédant 3 valeurs propres distinctes (et trois vecteurs propres) est diagonalisable.
Bonne continuation
Bonjour,
les résolutions des équations différentielles mènent aux solutions qui sont des espaces vectoriels de dimension 1, qui sont donc générés par des vecteurs (en l'occurrence, ici, ces vecteurs sont des fonctions).
On a donc la forme des vecteurs directeurs qui seront des solutions polynomiales si et seulement si leurs exposants sont des nombres entiers.
La combinaison de cette condition sur les 3 vecteurs solutions impose que \(\lambda\in\left\lbrace 3,1,-1\right\rbrace\).
On en déduit ensuite trois vecteurs générateurs des espaces de solutions.
Lorsqu'on réinjecte ces solutions dans l'équation différentielle de départ, on obtient une relation du type \(f(e_i)=ie_i\), avec \(f\) l'application linéaire de départ, ce qui prouve que les \(e_i\) sont des vecteurs propres associées aux valeurs propres \(i\in\left\lbrace 3,1,-1\right\rbrace\).
Ce qui prouve que \(f\), endomorphisme d'un espace de dimension 3, possédant 3 valeurs propres distinctes (et trois vecteurs propres) est diagonalisable.
Bonne continuation
