Bonjour,
Pour la partie 3, c'est un raisonnement par l'absurde : on se place dans le cas d'une infinité de joueurs (indexé par \(k\)\) l'événement "le joueur k gagne" est noté \(G_k\). Ces événements sont deux à deux incompatibles donc \(P\left(\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\right)=\sum_{k\in\mathbb{N}}P(G_k)\), ce qui prouve aussi que la série est convergente car la probabilité de l'union est un nombre compris entre 0 et 1.
Si on suppose l’équiprobabilité de victoire, cela signifie que tous les événements \(G_k\) ont la même probabilité de se réalise donc il existe un réel \(c>0\) tel que pour tout entier \(k\), \(P(G_k)=c\) donc avec ce qu'on vient de dire, cela signifierait que la série convergente a pour terme général un nombre constant non nul, ce qui est contradictoire avec la convergence d'une série : si une série converge alors son terme général tend vers 0.
Pour la question 1c, tu as raison c'est l'incompatibilité deux à deux des événements qui assure que la probabilité de l'union est égale à la somme des probabilités.
Pour la 2 a i
Dans l'énoncé 2a, on écrit :
On pose pour entier naturel \(n>0\),\(p_n=p\)
Comme pour tout entier \(n\), on a \(q_n=1-p_n\) on a donc pour tout entier \(n\) \(q_n=1-p_n=1-p=q\).
Pour la 2aiii, tu sais que \(\sum_{k=1}^n P(Gk)=1-Q_n\) donc si tu considères \(P(G_n)=\sum_{k=1}^n P(Gk)-\sum_{k=1}^{n-1} P(Gk)\)
alors \(P(G_n)=1-Q_n-(1-Q_{n-1})=Q_{n-1}-Q_n\).
Pour une variable aléatoire discrète \(X\), l'espérance mathématique est définie par \(\sum_{i}x_iP(X=x_i)\)
à condition que cette série converge absolument.
Donc l'énoncé demandant le calcul de l'espérance, il suppose implicitement que cette espérance existe donc que la série converge absolument donc qu'elle est convergente, ce qui permet de manipuler directement la somme.
Bonne continuation
