Bonjour,
je te conseille de factoriser :
\(\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\dfrac{6(n+1)^2}{6}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}\)
\(=\dfrac{(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]}{6}\)
Je te conseille ensuite de développer ce qu'il y a entre les crochets : \(n(2n+1)+6(n+1)\)
puis de développer l'expression \((n+2)(2n+3)\) et de vérifier que ces deux expressions sont égales donc tu pourras remplacer \(n(2n+1)+6(n+1)\) par \((n+2)(2n+3)\) et tu auras alors \(=\dfrac{(n+1)[n(2n+1)+6(n+1)]}{6}=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\) ce qui montrera bien la propriété au rang \(n+1\).
Bon calcul

bonsoir j'ai un gros problème pour développer , l'égalité suivante ; 1^2+1^2+...n^2 = 1/6 n (n+1)(2n+1) vraie au rang 1. démontrer qu'elle vraie pour tout entier naturel
donc
1^2+1^2+...n^2(n+1)^2 = 1/6 n (n+1)(2n+1)+(n+1)^2
ensuite je n'est pas compris comment il ont simplifier on regardant la correction?
sa dit; (n+1)(n+2)(2n+3) = n(n+1)(2n+1)+(6n+1)^2

on simplifie par (n+1):
(n+2)(2n+3) = n(2n+1)+6(n+1) or ceci est vraie car des deux cotes on trouve: 2n^2 + 7n +6 ????