Bonjour,
as-tu obtenu la forme demandée ?
Pour l'obtenir, il suffit de multiplier par l'expression conjuguée pour faire disparaître la racine carrée du numérateur :
$\dfrac{\sqrt{x-3}-1}{x-4}=\dfrac{(\sqrt{x-3}-1)(\sqrt{x-3}+1)}{(x-4)(\sqrt{x-3}+1)}$ de sorte qu'au numérateur, tu reconnaisses une identité remarquable de la forme $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
Avec la forme obtenue, tu pourras ensuite obtenir le sens de variation de la fonction en travaillant par composition
$x\stackrel{affine\,x-3}{\longmapsto}x-3\stackrel{racine\,carree}{\longmapsto} \sqrt{x-3}\stackrel{affine\, x+1}{\longmapsto}\sqrt{x-3}+1\stackrel{inverse}{\longmapsto}\dfrac{1}{\sqrt{x-3}+1}$
Ta fonction est un enchaînement de fonctions dont tu connais le sens de variation.
Je te laisse terminer.

est ce que je peux avoir de l'aide pour étudier le sens de variation de f(x)

Bonjour Rebeckha,

je ne comprends pas ta question ... tu viens de trouver E = [3;44;∞[.
Que veux-tu faire de plus ?

SoSMath.

comment prouver que f(x) est définit sur un ensemble E avec pour ensemble de définition [3;44;∞[

C'est cela

A bientôt

j'en conclus que l'ensemble de définition est donc [3;44;∞[

Oui c'est cela donc je te laisse conclure : tu as trouvé la borne recherchée.
Bonne continuation

x-3 >0 donne x>3

Bonjour,
Il faut que tu aies $x-3\geqslant 0$ pour que la racine carrée soit définie donc $x\geqslant \ldots$ ce qui donne l'intervalle $[\ldots\,;\,+\infty[$ mais dans cet intervalle, il y a la valeur interdite du quotient donc il faut enlever 4 de cet intervalle, ce qui fait deux intervalles : la partie à gauche de 4 et celle à droite de 4 : donc $\mathcal{D}_f=[\ldots\,;\,4[\cup]4\,;\,+\infty[$
Je te laisse terminer.
Bonne continuation

-∞;44;∞[
???

$f(x)=\dfrac{\sqrt{x-3}-1}{x-4}$

Effectivement, f est définie sur ]4;+∞[ mais aussi sur un autre ensemble... si x=3,5 par exemple, f(x) existe.

[...?...;...?...4;+∞[

]4;∞[
???

rebeckha a écrit :x-4 diffèrent de 0 revient a dire que x n'est pas égale a 4

Oui

rebeckha a écrit : l'ensemble de définition est donc [3;+∞[

Non car 4 appartient à l'intervalle [3;+∞[ et on ne peut pas diviser par 0 dans $f(x)=\dfrac{\sqrt{x-3}-1}{x-4}$ ...(Autrement dit, 4 n'a pas d'image par f)

Il te faut donc exclure 4 du domaine de définition.

x-4 diffèrent de 0 revient a dire que x n'est pas égale a 4

l'ensemble de définition est donc [3;+∞[

rebeckha a écrit :x-4 diffèrent de 0 revient a dire que x>4

Non, si x=2 (par exemple) on a aussi $x-4 \neq 0$...

rebeckha a écrit :
oui une erreure desole cela donne [3;4]U[4;∞[

Non, [3;4]U[4;+∞[=[3;+∞[, tu n'as pas enlevé 4 de l'ensemble...

Tu y es presque

A bientôt