par sos-math(21) » mar. 4 avr. 2017 14:13
Bonjour,
le nombre 5 arrive au rang \(j\) (\(j\) compris entre 1 et 5) lorsqu'il n'arrive pas avant donc que les autres nombres sortent avant. Comme il y a 4 nombres possibles autres que 5, cela fait une probabilité de 4/5=0,8 qui est rencontrée \(j-1\) fois avant d'arriver au 5 situé au rang 5 qui arrive avec une probabilité de 0,2.
Ainsi la probabilité est d'après le principe multiplicatif : \(\underbrace{0,8\times....\times 0,8}_{\text{j-1 tirages avant}}\times \underbrace{0,2}_{\text{jème position}}=0,8^{j-1}\times 0,2\).
Ainsi l'espérance qui est calculée comme une moyenne est donnée par la formule \(E(X)=\sum_{j=1}^{n}j\times P(X=j)=\sum_{j=1}^{n}j\times 0,8^{j-1}\times 0,2\) et on retrouve bien la formule de l'exercice.
Est-ce plus clair ?
Bonjour,
le nombre 5 arrive au rang \(j\) (\(j\) compris entre 1 et 5) lorsqu'il n'arrive pas avant donc que les autres nombres sortent avant. Comme il y a 4 nombres possibles autres que 5, cela fait une probabilité de 4/5=0,8 qui est rencontrée \(j-1\) fois avant d'arriver au 5 situé au rang 5 qui arrive avec une probabilité de 0,2.
Ainsi la probabilité est d'après le principe multiplicatif : \(\underbrace{0,8\times....\times 0,8}_{\text{j-1 tirages avant}}\times \underbrace{0,2}_{\text{jème position}}=0,8^{j-1}\times 0,2\).
Ainsi l'espérance qui est calculée comme une moyenne est donnée par la formule \(E(X)=\sum_{j=1}^{n}j\times P(X=j)=\sum_{j=1}^{n}j\times 0,8^{j-1}\times 0,2\) et on retrouve bien la formule de l'exercice.
Est-ce plus clair ?
