Bonsoir,
À partir du moment où on laisse un logiciel de calcul formel faire le travail, il n'est pas nécessaire de factoriser :
1) j'ai fait calculer le carré du membre de gauche : ligne 3
2) j'ai fait calculer le carré du membre de droite : ligne 5
3) J'ai fait résoudre l'équation : ligne 6
Et voilà le travail, merci GeoGebra.
Bon courage

Bonsoir SOS 21

merci de m'avoir aider à terminer le calcul à ma place
à vrai dire [url]je n'en pouvais plus[/url]

si je comprends bien , vous avez fait le calcul à partir de
[tex]m^{2}(m +3 ) ^{2} + m ^{2}(m^{2} + 2m + 9 ) + 2m(m+3) = 2 \begin{pmatrix}
1 -( m+3)
\end{pmatrix}\sqrt{\Delta }[/tex]

il n'était pas nécessaire de mettre m en facteur pour avoir
[tex]m \begin{pmatrix}

m(m +3 ) ^{2} + m (m^{2} + 2m + 9 ) + m(m+3) \end{pmatrix}= 2 \begin{pmatrix}
1 -( m+3)
\end{pmatrix}\sqrt{\Delta }[/tex]

Bonjour,
après, cela devient difficile.
Je me suis contenté de prendre tes expressions de les faire développer par GeoGebra puis de faire résoudre l'équation par GeoGebra aussi :
[attachment=0]developpement.JPG[/attachment]
On retrouve bien les solutions \(m=0\) et \(m=-2\).
Tu peux t'amuser à continuer de développer, avec de la méthode et de la rigueur on s'en sort.
Bon courage

Bonjour monsieur , madame,


[tex]m^{2}(m + 3)^{2} + m^{2}(m^{2} + 2m + 9) + 2 m(m+3) = 2\sqrt{\Delta }- 2m (m + 3) \sqrt{\Delta }[/tex]

[tex]m^{2}(m + 3)^{2} + m^{2}(m^{2} + 2m + 9) + 2 m(m+3) = 2\begin{pmatrix}

\sqrt{\Delta }- m (m + 3) \sqrt{\Delta }\end{pmatrix}[/tex]

[tex]m^{2}(m + 3)^{2} + m^{2}(m^{2} + 2m + 9) + 2 m(m+3) = 2\begin{pmatrix}

1- m (m + 3)\end{pmatrix} \sqrt{\Delta }[/tex]

ensuite je mets en facteur m

[tex]m \begin{bmatrix}

m(m + 3)^{2} + m (m^{2} + 2m + 9) + 2 (m+3)\end{bmatrix} = 2\begin{pmatrix}

1- m (m + 3)\end{pmatrix} \sqrt{\Delta }[/tex]

je remplace ∆ par [tex]m^2(m^2 +2 m + 9)[/tex]

ce qui donne [tex]m \begin{bmatrix}

m(m + 3)^{2} + m (m^{2} + 2m + 9) + 2 (m+3)\end{bmatrix} = 2\begin{pmatrix}

1- m (m + 3)\end{pmatrix} \sqrt{m^{2}(m^{2}+2m + 9) }^{2}[/tex]

donc pour faire sauter la racine --------> j'ai élevé au carré

[tex]\begin{bmatrix}

m \begin{bmatrix}

m(m + 3)^{2} + m (m^{2} + 2m + 9) + 2 (m+3)\end{bmatrix}\end{bmatrix}^{2} = \begin{bmatrix}

2\begin{pmatrix}

1- m (m + 3)\end{pmatrix}\end{bmatrix}^{2} * m^{2}(m^{2}+2m + 9)[/tex]

[tex]m^{2}\begin{bmatrix}
m(m + 3)^{2}+ m (m^{2} + 2m + 9) + 2 (m + 3)
\end{bmatrix}^{2} = 4
\begin{pmatrix}
1 - m(m + 3)
\end{pmatrix}^{2}
* m^{2} (m^{2}+ 2m + 9)[/tex]


pouvez - vous me dire si c'est Ok ? (au niveau de la rédaction)

après je n'y arrive plus

Bonjour
tu as oublié le \(m\) dans ta multiplication par -1.
Pour la méthode des racines, les calculs semblent compliqués et je ne suis pas sûr qu'il n'y ait pas d'erreur.
Reprends bien tes calculs depuis le début.
Pour faire sauter une racine carrée, il n'y a qu'une solution : élever au carré.
Bonne continuation

Bonjour monsieur,

j'ai quand même envi de poursuivre la méthode des solutions

je me lance

[tex]\begin{pmatrix}
\frac{-m(m+3) - \sqrt{\Delta }}{2}
\end{pmatrix}^{2}=\frac{-m(m+3)+\sqrt{\Delta }}{2}[/tex]

[tex]\frac{\begin{pmatrix}
-m(m+3) -\sqrt{\Delta }
\end{pmatrix}^{2}}{4}=\frac{-m(m+3)+\sqrt{\Delta }}{2}[/tex]

je multiplie les 2 membres par 4

et donc je vais mettre des grandes parenthèses

[tex]4 * \begin{pmatrix}
\frac{\begin{pmatrix}
-m(m+3) - \sqrt{\Delta }


\end{pmatrix}^{2}}{4}
\end{pmatrix} = 4 * \begin{pmatrix}
\frac{-m(m + 3 ) + \sqrt{\Delta }}{2}
\end{pmatrix}[/tex]

ce qui permet d'éliminer le 4 du dénominateur pour le membre de gauche

j'obtiens [tex]\begin{pmatrix}
-m( m + 3 ) - \sqrt{\Delta }
\end{pmatrix}^{2} = 2 * \begin{pmatrix}
- m ( m + 3 ) + \sqrt{\Delta }
\end{pmatrix}[/tex]

maintenant je vais développer mon identité remarquable du membre de gauche
et je peux aussi développer le membre de droite

[tex]\begin{pmatrix}
- m( m + 3)
\end{pmatrix}^{2} - 2 \begin{pmatrix}
-m ( m + 3 )
\end{pmatrix} * \sqrt{\Delta } + \begin{pmatrix}
\sqrt{\Delta }
\end{pmatrix}^{2} = -2 m (m + 3 ) + 2 \sqrt{\Delta }[/tex]

[tex]-\begin{pmatrix}
a
\end{pmatrix}^{2} = a[/tex]

donc [tex]m^{2}(m + 3 )^{2} + 2 m (m + 3) \sqrt{\Delta } + \Delta = -2 m ( m + 3 ) +2 \sqrt{\Delta }[/tex]

je remplace ∆ par [tex]m^2 ( m ^2 + 2m + 9 )[/tex]

[tex]m^{2}(m + 3 )^{2} + 2m ( m + 3 ) \sqrt{\Delta } + m^{2}(m^{2} + 2 m + 9 ) = - 2m ( m + 3 ) + 2 \sqrt{\Delta }[/tex]

[tex]m^{2}(m + 3 )^{2} + m^{2}(m^{2} + 2 m + 9 ) + 2m ( m + 3 ) = 2 \sqrt{\Delta } - 2 m (m + 3 ) \sqrt{\Delta }[/tex]

je peux mettre 2 en facteur dans le membre de droite

[tex]m^{2}(m + 3 )^{2} + m^{2}(m^{2} + 2 m + 9 ) + 2m ( m + 3 ) = 2 \begin{pmatrix}
\sqrt{\Delta } - m ( m + 3) \sqrt{\Delta }
\end{pmatrix}[/tex]

je peux mettre aussi [tex]\sqrt{∆}[/tex] en facteur

ce qui donne [tex]m^{2}(m + 3 )^{2} + m^{2}(m^{2} + 2 m + 9 ) + 2m ( m + 3 ) = 2 \sqrt{\Delta } \begin{pmatrix}
1 - (m (m + 3 )
\end{pmatrix}[/tex]

maintenant je vais factoriser avec m

[tex]m \begin{pmatrix}

m(m + 3 )^{2} + m(m^{2} + 2 m + 9 ) + 2 ( m + 3 )\end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix}
1 - (m (m + 3 )
\end{pmatrix} \sqrt{\Delta }[/tex]

je remplace ∆ par [tex]m^2 + 2m + 9[/tex]

[tex]m \begin{pmatrix}

m(m + 3 )^{2} + m(m^{2} + 2 m + 9 ) + 2 ( m + 3 )\end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix}
1 - (m (m + 3 )
\end{pmatrix} \sqrt{m^{2}(m^{2}+ 2 m + 9 })[/tex]

il faudrait [u]enlever la racine carré[/u] qui est dans le membre de droite

Avez - vous une idée ??

Bonnjour SOS 21

merci de m'avoir répondu

[tex]-2m^{2}-4m = 0[/tex]

je multiplie les 2 membres de l'équation par -1
[tex]-\begin{pmatrix}
-2m^{2}-4
\end{pmatrix}=0[/tex]

[tex]2m^{2}+4 = 0[/tex]

Bonjour,
tu multiplies les deux membres de ton équation par -1 et tu retrouves ce que je te proposais.
Bonne continuation

Bonjour SoS 21

Bon dimanche


[tex]-m(m+3) = m +m^{2}= 0[/tex]

[tex]-m(m+3) - m - m^{2}= 0[/tex]

[tex]-2m^{2}-4m = 0[/tex]

je n'obtiens pas [tex]2m^{2}+4m = 0[/tex]

je dois être mal réveillé !!

Bonjour,
oui cette propriété est correcte.
J'ai peur que cela soit compliqué avec les racines.
Avec les sommes et les produits, c'était plus simple mais tu as fait une erreur : tu dois avoir \(-m(m+3)=m^2+m\) ce qui donne \(2m^2+4m=0\) et tu trouves deux solutions.
Si tu veux travailler avec les racines, je te conseille d'utiliser le fait que \(A\) est une racine ce qui signifie que :
\(A^2+m(m+3)A+m^3=0\) donc que \(A^2=-m(m+3)A-m^3\) donc [tex]B=-m(m+3)A-m^3[/tex] mais je trouve cela encore bien compliqué....

Bon dimanche


[tex]A = \frac{-m(m+3) -\sqrt{\Delta }}{2}[/tex]

[tex]B = \frac{-m(m+3) +\sqrt{\Delta }}{2}[/tex]


[tex]\begin{pmatrix}
\frac{-m(m+3) -\sqrt{\Delta }}{2}
\end{pmatrix}^{2}=\frac{-m(m+3)+\sqrt{\Delta }}{2}[/tex]

[tex]\frac{\begin{pmatrix}
-m(m+3)-\sqrt{\Delta }
\end{pmatrix}^{2}}{(2)^{2}}=\frac{-m(m+3)+\sqrt{\Delta }}{2}[/tex]


c'est bien cette propriété ??
j'utilise la propriété

[tex]\begin{pmatrix}
\frac{a}{b}
\end{pmatrix}^{2}[/tex] = [tex]\frac{\begin{pmatrix}
a
\end{pmatrix}^{2}}{\begin{pmatrix}
b
\end{pmatrix}^{2}}[/tex]

Bonjour SOS 25

[tex]m^{2}+3m - m - m^{2}=0[/tex]

[tex]2m = 0[/tex]

donc m = 0

et si m = 0
en remplaçant dans [tex]x^{2}+m(m+3) x + m^{3}[/tex]

on a [tex]x^{2}= 0[/tex]

Bonjour Yann,

Ton raisonnement montre une très bonne compréhension de cette notion.

Pour la méthode 1, développe [tex]~m(m+3)-m-m^2[/tex], tu verras apparaître une équation assez simple.

Pour la méthode 2, tu dois effectivement conserver les parenthèses.

Bon courage !

Bonjour,

[tex]x^{2}+m(m+3)x+m^{3}[/tex]
trouver m de façon à ce que l'équation ait 2 racines A et B telles que [tex]A^{2}=B[/tex]

[u]méthode 1[/u]
on sait que le produit de 2 racines donne c/a = [tex]m^{3}= A * B[/tex]comme [tex]A^{2}=B[/tex] j'obtiens [tex]A^{3}= m^{3}[/tex]
donc [b]A = m[/b]

on sait que la somme de 2 racines donne [tex]-m(m+3) = A + B[/tex]
[tex]-m(m+3) = m + m^{2}[/tex]

il faut résoudre[tex]m(m+3) - m - m^{2} = 0[/tex]

par contre je n'arrive pas à continuer
[u]méthode 2[/u]

il faut trouver la valeur de m telles que [tex]A^{2}=B[/tex]
je décide de travailler avec les solutions

[tex]∆ = m^{2}(m^{2}+2m +9)[/tex]


[tex]B = \frac{-m(m+3) + \sqrt{∆}}{2}[/tex]

[tex]A^{2}=B[/tex]

[tex]\begin{pmatrix}
\frac{-m(m+3) -\sqrt{\Delta }}{2}
\end{pmatrix}^{2}=\frac{-m(m+3) +\sqrt{\Delta }}{2}[/tex]

[tex]\frac{(-m(m+3) -\sqrt{\Delta })^{2}}{4}=\frac{-m(m+3) +\sqrt{\Delta }}{2}[/tex]

je multiplie chaque membre par 4 dans le but d'éliminer le 4 du dénominateur du membre de gauche

j'obtiens ceci [tex]4 * \frac{(-m(m+3) -\sqrt{\Delta })^{2}}{4}=4 * \frac{-m(m+3) +\sqrt{\Delta }}{2}[/tex]

est ce que je dois mettre des parenthèses ??

est ce que j'ai le droit d'écrire cela ??

Bonjour,
C'est cela donc ton trinôme est de signe constant, celui de \(a=1\) (coefficient devant \(m^2\)), donc positif.
Tu as donc un discriminant \(m^2(m^2+2m+9)\) strictement positif.
Bonne continuation