[tex]\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}-( \sqrt{n+1}-\sqrt{n}[/tex]) < 0 ce qui revient à [tex]\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}< \sqrt{n+1}-\sqrt{n}[/tex]...voir mail avec le quotient.

Merci !

Et concrètement, comment fait-on ?

Bonsoir,

Pour démontrer que cette suite est décroissante, on peut utiliser la différence [tex]U_{n+1}-U_{n}[/tex]. Pour démontrer que cette différence est négative, on se retrouve dans exactement la même situation que pour le quotient...

Bonne continuation.

Merci beaucoup. Et par curiosité, pouvions-nous utiliser la méthode de la différence ? Si oui, comment ?

Merci !

une possibilité si il faut passer par le quotient même si ce n'est pas la plus simple :
Le dénominateur étant strictement positif
[tex]\frac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}< 1[/tex] équivaut à [tex]\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}< \sqrt{n+1}-\sqrt{n}[/tex] donc a [tex]\sqrt{n+2}+\sqrt{n}< 2\sqrt{n+1}[/tex]. En élevant au carré et en simplifiant tu dois arriver à une inégalité toujours vraie. A toi de continuer.

Merci.

Et donc comment faire pour la méthode du quotient ?

C'est bien pour la question2a).
Pour la conjecture sur tableur : dans la 1ère colonne rentre les n (0 à ...)
dans la deuxième les u ( par exemple en B1"= racine A2 - racine A1)
dans la troisième colonne cumules les u (en C1 rentrer B1 et en C2 = C1 + B2 ensuite "recopier" cette formule pour les suivante

Pour la question 2/a., il faut dire que tous les termes sont positifs donc que u(n+1) est positif, donc que S(n+1) - S(n) est bien positif. La suite est donc croissante.

L'énoncé est complet, mais mon professeur nous a très fortement conseillé de faire la méthode du quotient, sinon on n'aura pas tous les points...

De plus, je n'arrive pas à utiliser le tableur pour conjecturer la limite de la suite S(n). Comment faire ?

Merci pour votre aide.

Peux tu donner l'énoncé exact de la question 1b) car dans ton 1er mail il n'y aucune référence à la méthode pour montrer u décroissante.
Question 2 :
Oui, S(n+1) - S(n) = u(n+1). En utilisant la question1) a) tu peux trouver le signe de cette différence.

Voici ce que j'ai fait, car la méthode du quotient m'est imposée...

De plus, on a bien démontré que tous les termes sont positifs, donc on peut effectivement utiliser cette méthode.

Après la quantité conjuguée, on a donc[color=#004080] u(n+1)/u(n)=racine(n+2)*racine(n+1)+racine(n+2)^racine(n)-n-1-racine(N+1)*racine(n).[/color] Comment démontrer que c'est inférieur à 1 ?

Pour la question 2/a, voici ce que j'ai fait :

[color=#BF4000]S(n+1)-S(n)=u0+u1+...+u(n+1)-(u0+u1+...+u(n))=u0+u1+...+u(n)+u(n+1)-u0-u1-...-u(n)=u(n+1). [/color]Est-ce bon ? Que dire après ?

[color=#008000]Pourriez-vous répondre à mon sujet sur les sphères intitulé trigonométrie ?[/color] Merci beaucoup pour tout.

Pour la majoration :
Comme u est décroissante, u est majorée par u[tex]_{0}[/tex] = racine(1) - racine(0) = 1.

Bonjour Antoine,
Pour utiliser le quotient:
1) il faut vérifier que un est non nul pour tout n !
2) Ensuite seulement il faut montrer que le quotient est supérieur à 1 (car d'après a) un > ou 0)
mais ce point 2 est plus difficile car avec l'utilisation de l'expression conjuguée de racine(n+1) - racine(n) on trouve :
[tex]\frac{(\sqrt{n+2} - \sqrt{n+1})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}{(n+1)-n}[/tex]
Le dénominateur est égale à 1 mais il faut montrer que le numérateur est inférieur à 1.

C'est plus simple en utilisant variation de f sur [0;+ infini[

Oui mais je pense que c'est mieux de le faire avec le quotient comme il est indiqué que tous les termes sont positifs, non ?

J'aimerais bien connaître la méthode pour comparer ce quotient à 1 !

Pourriez-vous me donner les premières lignes de calcul s'il vous plait ?

Merci d'avance.

Bonjour,
en fait à la question b), la méthode étais indiquée :
[quote] [tex]u_n = f(n)[/tex] avec [tex]f(x) = \sqrt{x+1} - \sqrt{x}[/tex]. [tex]u[/tex] et [tex]f[/tex] ont les mêmes variations.[/quote] il n'est pas nécessaire d'en chercher une autre.

Pour trouver la limite, as tu essayé d'utiliser un tableur ou un tableau de valeur, ou un algorithme pour faire une conjecture ? C'est le meilleur moyen !
à bientôt

Bonjour,

Auriez-vous le temps de répondre à mes autres questions ?

Merci d'avance !