Bonjour,
une idée de démonstration :
si tu fais un tableau de dimension \(n\times n\) et que tu marques à chaque emplacement p ième ligne et q-ième colonne \(a_{pq}=|p-q|\) , tu te retrouves avec un tableau de cette forme ici n=6\(\begin{pmatrix}0&1&2&3&4&5\\1&0&1&2&3&4\\2&1&0&1&2&3\\3&2&1&0&1&2\\4&3&2&1&0&1\\5&4&3&2&1&0\end{pmatrix}\).
Tu te rends compte qu'il y a une symétrie et que la somme de tout le tableau est égale à 2 fois celle du triangle inférieur.
Dans ce triangle, tu as \(n\) diagonales de nombres égaux :
1ère diagonale : \(n\) nombres tous égaux à 0 : somme égale à 0
2ème diagonale : \(n-1\) nombres tous égaux à 1 : \((n-1)\times 1\)
3 ème diagonale : \(n-2\) nombres tous égaux à 2 : \((n-2)\times 2\)
et ainsi de suite de sorte que ta somme S est égale à \(S=2\sum_{k=0}^{n}(n-k)\times k=2\sum_{k=0}^{n}nk-2\sum_{k=0}^{n}k^2\)
donc \(S=2n\times \sum_{k=0}^{n}k-2\sum_{k=0}^{n}k^2\)
Sachant que \(\sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\) et \(\sum_{k=0}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Je te laisse finir le calcul.
Pour ton algorithme, c'est faux, il faut que tu fasses une double somme avec une boucle "Pour" imbriquée dans une autre boucle "Pour".
Bon courage
