par sos-math(21) » ven. 15 nov. 2013 19:27
Bonsoir,
Dès qu'on résout une équation trigonométrique, les fonctions sinus et cosinus étant périodiques, il y a une infinité de solutions qui se répètent de manière périodique, c'est pourquoi lorsqu'on résout une équation de ce type, on écrit \(x_0+2k\pi\), avec \(k\) entier relatif, pour avoir toutes les solutions.
Par exemple pour résoudre l'équation \(\cos(x)=\frac{1}{2}\), on regarde ce qui se passe sur le cercle trigonométrique donc dans \(]-\pi\,;\,\pi]\), cela correspond aux points du cercle ayant pour abscisse \(\frac{1}{2}\): il y a deux points du cercle donc deux nombres de l'intervalle \(]-\pi\,;\,\pi]\) qui sont solutions : \(x_0=-\frac{\pi}{3}\) et \(x_1=\frac{\pi}{3}\) . Comme la fonction cosinus est périodique de période \(2\pi\), on a alors pour tout entier k \(\cos(x_0+2k\pi)=\cos(x_0)=\frac{1}{2}\) donc tous les nombres de cette forme sont solutions.
Cela nous donne les solutions sur \(\mathbb{R}\).
Donc oui, les \(2k\pi\) sont importants dès qu'il s'agit de résoudre dans \(\mathbb{R}\).
Maintenant si l'équation est \(\cos(2x)=\frac{1}{2}\), on a alors \(2x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\) et \(2x=\frac{\pi}{3}+2k'\pi\) ce qui donne en divisant par 2 :
\(2x=-\frac{\pi}{6}+k\pi\) et \(x=\frac{\pi}{6}+k'\pi\) : il faut tout diviser par 2 : les solutions reviennent tous les \(\pi\), \(x\mapsto \cos(2x)\) étant périodique de période \(\pi\).
Voilà pour les explications, dans un premier temps, attache toi à résoudre dans un intervalle d'amplitude \(2\pi\), par exemple \(]-\pi\,;\,\pi]\).
Bon courage
Bonsoir,
Dès qu'on résout une équation trigonométrique, les fonctions sinus et cosinus étant périodiques, il y a une infinité de solutions qui se répètent de manière périodique, c'est pourquoi lorsqu'on résout une équation de ce type, on écrit [tex]x_0+2k\pi[/tex], avec [tex]k[/tex] entier relatif, pour avoir toutes les solutions.
Par exemple pour résoudre l'équation [tex]\cos(x)=\frac{1}{2}[/tex], on regarde ce qui se passe sur le cercle trigonométrique donc dans [tex]]-\pi\,;\,\pi][/tex], cela correspond aux points du cercle ayant pour abscisse [tex]\frac{1}{2}[/tex]: il y a deux points du cercle donc deux nombres de l'intervalle [tex]]-\pi\,;\,\pi][/tex] qui sont solutions : [tex]x_0=-\frac{\pi}{3}[/tex] et [tex]x_1=\frac{\pi}{3}[/tex] . Comme la fonction cosinus est périodique de période [tex]2\pi[/tex], on a alors pour tout entier k [tex]\cos(x_0+2k\pi)=\cos(x_0)=\frac{1}{2}[/tex] donc tous les nombres de cette forme sont solutions.
Cela nous donne les solutions sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
Donc oui, les [tex]2k\pi[/tex] sont importants dès qu'il s'agit de résoudre dans [tex]\mathbb{R}[/tex].
Maintenant si l'équation est [tex]\cos(2x)=\frac{1}{2}[/tex], on a alors [tex]2x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi[/tex] et [tex]2x=\frac{\pi}{3}+2k'\pi[/tex] ce qui donne en divisant par 2 :
[tex]2x=-\frac{\pi}{6}+k\pi[/tex] et [tex]x=\frac{\pi}{6}+k'\pi[/tex] : il faut tout diviser par 2 : les solutions reviennent tous les [tex]\pi[/tex], [tex]x\mapsto \cos(2x)[/tex] étant périodique de période [tex]\pi[/tex].
Voilà pour les explications, dans un premier temps, attache toi à résoudre dans un intervalle d'amplitude [tex]2\pi[/tex], par exemple [tex]]-\pi\,;\,\pi][/tex].
Bon courage
