Bonjour (on aime bien, en particulier quand on répond alors qu'on est en vacances...)
Merci aussi d'ailleurs...

Pour la question 1, M appartient à la médiatrice n'est pas une réponse suffisante. L'ensemble est la médiatrice tout entière.

Pour la question 2, l'équivalence nécessite de prendre quelques précautions, notamment en précisant à un moment que O et C sont distincts.

Pour la question 3, la relation de Chasles intervient plusieurs fois d'affilée.
Par exemple pour la première égalité à montrer :
décompose MO en MB+BO et MC en MB+BC (en vecteurs).
Il doit te rester à montrer que BO=kBC (en vecteurs), ce qui se fait bien.
Pareil pour la seconde.

Pour la question 4, tu écris :
"en déduire que MO / MC = k vecteur MB.ME vecteur =0
Conclure que l'ensemble des points de M est le cercle de diamètre [BE"

Je pense que la bonne formulation est :
"en déduire que MO / MC = k équivaut à MB.ME =0 (produit scalaire)
Conclure que l'ensemble des points de M est le cercle de diamètre [BE]"

C'est une simple synthèse des questions qui précèdent :
question 2 : où apparait l'équivalence avec une égalité vectorielle, et les vecteurs MO +/- k MC
question 3 : où tu peux écrire ces deux vecteurs différemment

Et enfin, pour le cercle, c'est un thèorème de collège.

Bon courage.

Deux points distincts O et C et k un réel positif strict. On a Ek l'ensemble des points M du plan tel que MO / MC = k
1) déterminer l'ensemble des points M du plan tel que MO / MC = k (avec k = 1)

On suppose pour tout ce qui vient que k 1

2) montrer que MO / MC = k équivaut à (MO - kMC ) . (MO + kMC )=0 (MO et MC sont des vecteurs)

3) Soit B et E points définis par : vecteur CB = 1 / 1-k vecteur CO et vecteur CE = 1 / 1+k vecteur CO
Justifier que O,C,B,E sont alignés .
Montrer avec Chasles que :
vecteur MO - k vecteur MC = (1-k) vecteur MB
et vecteur MO + k vecteur MC = (1+k) vecteur ME

4) en déduire que MO / MC = k vecteur MB.ME vecteur =0
Conclure que l'ensemble des points de M est le cercle de diamètre [BE

1) L'ensemble des points M du plan tel que MO/MC = k lorsque k=1 est l'ensemble des points tel que MO = MC; Autrement dit M appartient à la médiatrice de OC lorsque k=1.
2) Grâce à l'identité remarquable j'ai réussi à en déduire que c'était équivalent.
3) j'ai réussi à déduire que les points été alignés, en revanche pour l'utilisation de chasles c'est une autre histoire...
4) idem je suis perdu...