par sos-math(21) » dim. 21 oct. 2012 09:10
Bonjour,
on a \(f(x)=2x^2+5x-4\) et \(f(y)=2y^2+5y-4\) donc \(f(y)-f(x)=2(y^2-x^2)+5(y-x)\) on reconnait une identité remarquable donc en factorisant on a :
\(f(y)-f(x)=2(y+x)(x+y)+5(y-x)=(y-x)\left[2(y+x)+5\right]\) soit en divisant par (y-x) qui est en facteur, on a \(\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=2(y+x)+5\)
On se place alors dans le cas y>x : car pour étudier la croissance on doit d'abord considérer un ordre sur x et y et voir si l'ordre est respecté (f sera croissante) ou inversé (ou inversé) :
On cherche d'abord l'intervalle où \(\frac{f(y)-f(x)}{y-x}>0\), cela signifie que l'on va chercher pour quels x et y, on va avoir \(2(y+x)+5>0\) soit \(y+x>\frac{-5}{2}\)
donc si on prend y>x, alors \(2y>x+y>\frac{-5}{2}\) donc \(y>\frac{-5}{4}\) d'où le \(\frac{-5}{4}\)
Il faudrait ensuite repartir de \(x,y\in\left[\frac{-5}{4}\,;\,+\infty\right[\), on a alors en prenant x>y, \(2(y+x)+5>0\).
Je te laisse mettre en forme la démonstration....
Bonjour,
on a [tex]f(x)=2x^2+5x-4[/tex] et [tex]f(y)=2y^2+5y-4[/tex] donc [tex]f(y)-f(x)=2(y^2-x^2)+5(y-x)[/tex] on reconnait une identité remarquable donc en factorisant on a :
[tex]f(y)-f(x)=2(y+x)(x+y)+5(y-x)=(y-x)\left[2(y+x)+5\right][/tex] soit en divisant par (y-x) qui est en facteur, on a [tex]\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=2(y+x)+5[/tex]
On se place alors dans le cas y>x : car pour étudier la croissance on doit d'abord considérer un ordre sur x et y et voir si l'ordre est respecté (f sera croissante) ou inversé (ou inversé) :
On cherche d'abord l'intervalle où [tex]\frac{f(y)-f(x)}{y-x}>0[/tex], cela signifie que l'on va chercher pour quels x et y, on va avoir [tex]2(y+x)+5>0[/tex] soit [tex]y+x>\frac{-5}{2}[/tex]
donc si on prend y>x, alors [tex]2y>x+y>\frac{-5}{2}[/tex] donc [tex]y>\frac{-5}{4}[/tex] d'où le [tex]\frac{-5}{4}[/tex]
Il faudrait ensuite repartir de [tex]x,y\in\left[\frac{-5}{4}\,;\,+\infty\right[[/tex], on a alors en prenant x>y, [tex]2(y+x)+5>0[/tex].
Je te laisse mettre en forme la démonstration....
