Fonction croissante et décroissante

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Re: Fonction croissante et décroissante

par sos-math(21) » dim. 21 oct. 2012 10:46

Bon courage pour la suite,
à bientôt sur sos-maths

Re: Fonction croissante et décroissante

par sos-math(21) » dim. 21 oct. 2012 09:10

Bonjour,
on a f(x)=2x2+5x4 et f(y)=2y2+5y4 donc f(y)f(x)=2(y2x2)+5(yx) on reconnait une identité remarquable donc en factorisant on a :
f(y)f(x)=2(y+x)(x+y)+5(yx)=(yx)[2(y+x)+5] soit en divisant par (y-x) qui est en facteur, on a f(y)f(x)yx=2(y+x)+5
On se place alors dans le cas y>x : car pour étudier la croissance on doit d'abord considérer un ordre sur x et y et voir si l'ordre est respecté (f sera croissante) ou inversé (ou inversé) :
On cherche d'abord l'intervalle où f(y)f(x)yx>0, cela signifie que l'on va chercher pour quels x et y, on va avoir 2(y+x)+5>0 soit y+x>52
donc si on prend y>x, alors 2y>x+y>52 donc y>54 d'où le 54
Il faudrait ensuite repartir de x,y[54;+[, on a alors en prenant x>y, 2(y+x)+5>0.
Je te laisse mettre en forme la démonstration....

Re: Fonction croissante et décroissante

par eleve16 » dim. 21 oct. 2012 08:21

bonjour,
Une fois que l'on a divisé, que l'on arrive a
f(y)-f(x)/(y-x) = (2y+x)+5
Comment pouvons nous arriver à trouver le -5/4 ? J'ai compris que -5/4 = -b/2a, mais il faut que je le démontre pour y arriver. Je ne comprend pas comment on peut faire.

Re: Fonction croissante et décroissante

par SoS-Math(4) » sam. 20 oct. 2012 16:59

Bonjour Emma,

Il ne faut pas développer, il faut au contraire diviser les 2 côtés de l'égalité par y-x.
On obtient alors la valeur de f(y)-f(x)/y-x qui est le taux de variation de la fonction f. Etudie le signe de ce taux de variation.
S'il est positif pour tout x et y appartenant à un intervalle I, alors la fct est croissante sur I. Si le taux de variation est négatif pour tout x et tout y appartenant à I, alors f est décroissante sur I.

sosmaths

Fonction croissante et décroissante

par eleve16 » sam. 20 oct. 2012 16:46

Bonjour,
Voici mon exercice :

Soit f une fonction polynôme du second degré de la forme f : x --> ax²+bx+c, où a,b, et c sont trois nombres réels et a est différent de zéro.

1. Supposons que a = 2 : b=5 ; et c = -4. Montrer que pour tout nombre x et y appartenant à IR, on a f(y) - f(x) = (y-x)[2(y+x)+5]. En déduire que f est décroissante sur ]- l'infini; -5/4] et croissante sur [-5/4; + infini[. Réaliser alors le tableau de variation de f.

J'ai deux autres questions, mais j'aimerais déjà comprendre comment définir que f est décroissante sur l'intervalle donnée puis croissante sur l'autre intervalle.

Pour montrer que f(y)-f(x) =(y-x)[2(y+x)+5] , j'ai développé " (y-x)[2(y+x)+5] " , je trouve :
= 2y² + 2xy + 5y -2yx -2x² -5x

Est ce que je peux dire que " 2y² + 2xy + 5y " = f(y) et que "-2x² - 2yx - 5x " = f(x) ?

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