par sos-math(21) » dim. 20 mai 2012 22:03
Bonsoir,
D'abord, il faut comprendre que le produit scalaire est un nombre, ce qui explique la définition donnée avec des normes de vecteurs : la norme d'un vecteur est sa longueur.
Ensuite pour la relation donnée, il s'agit d'une conséquence du théorème d'al-kashi :
on part de :
\(BC^2=\vec{BC}.\vec{BC}=(\vec{BA}+\vec{AC}).(\vec{BA}+\vec{AC})=(\vec{AC}-\vec{AB}).(\vec{AC}-\vec{AB})\) avec la relation de chasles.
Ensuite, on développe comme un double produit algébrique :
\(BC^2=AC^2-2\vec{AB}.\vec{AC}+AB^2\) donc en passant le produit scalaire à gauche et en passant\(BC^2\) à droite :
\(2\vec{AB}.\vec{AC}=AB^2+AC^2-BC^2\) donc en divisant par 2 :
\(\vec{AB}.\vec{AC}=\frac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-BC^2\right)\)
Voilà pour l'explication.
remarque : on a une démonstration similaire pour obtenir la première définition que tu donnes.
Est-ce plus clair ?
Bon courage
Bonsoir,
D'abord, il faut comprendre que le produit scalaire est un nombre, ce qui explique la définition donnée avec des normes de vecteurs : la norme d'un vecteur est sa longueur.
Ensuite pour la relation donnée, il s'agit d'une conséquence du théorème d'al-kashi :
on part de :
[tex]BC^2=\vec{BC}.\vec{BC}=(\vec{BA}+\vec{AC}).(\vec{BA}+\vec{AC})=(\vec{AC}-\vec{AB}).(\vec{AC}-\vec{AB})[/tex] avec la relation de chasles.
Ensuite, on développe comme un double produit algébrique :
[tex]BC^2=AC^2-2\vec{AB}.\vec{AC}+AB^2[/tex] donc en passant le produit scalaire à gauche et en passant[tex]BC^2[/tex] à droite :
[tex]2\vec{AB}.\vec{AC}=AB^2+AC^2-BC^2[/tex] donc en divisant par 2 :
[tex]\vec{AB}.\vec{AC}=\frac{1}{2}\left(AB^2+AC^2-BC^2\right)[/tex]
Voilà pour l'explication.
remarque : on a une démonstration similaire pour obtenir la première définition que tu donnes.
Est-ce plus clair ?
Bon courage
