Bonsoir Baptiste,

Tu dois démontrer que [tex]u_n=\sqrt{9+n}[/tex], pour cela :
[u]Initialisation :[/u] on vérifie que l'égalité est vraie pour n=0.
[u]hérédité :[/u] on supposons que l'égalité est vraie au rang n et on démontre qu'elle est vraie au rang (n+1).

Tu sais que [tex]u_{n+1}=\sqrt{1+u_{n}^{2}}[/tex]. Cela devrait être relativement simple !

Pour l'autre inégalité à démontrer, il faut rechercher le signe de la différence : [tex]3^{n+1}-(n+2)^2[/tex]
Ecris [tex]3^{n+1}-(n+2)^2=3\times3^n-(n+2)^2[/tex]
or l'hypothèse de récurrence dit que [tex]3^n>(n+1)^2[/tex] donc [tex]3^{n+1}-(n+2)^2>3\times(n+1)^2-(n+2)^2[/tex]
Tu développes le trinôme en n et tu étudies son signe. Tu devrais réussir à démontrer qu'il est positif pour les entiers supérieurs à 1.

Bon courage.

Bonjour,
je n'arrive pas à démontrer que[tex]u_n=\sqrt{u_0+n}[/tex] et [tex]3^{n}\geq(n)^{2}[/tex]

Bonsoir,

Oui Baptiste, c'est bien ce qu'il te reste à démontrer.

Bonne continuation.

On peut donc dire en généralisant que [tex]u_n=\sqrt{u_0+n}[/tex] ! Ainsi on conjecture l'expression explicite qui est [tex]u_n=\sqrt{u_0+n}[/tex]. Puis on montre par récurrence que [tex]u_n=\sqrt{u_0+n}[/tex]!
Est-ce bien cela?

Bonjour,

Tu peux, peut-être, réfléchir et trouver un "lien" entre le rang et l'expression...
[tex]u_0=3=\sqrt{9+0}[/tex] ; [tex]u_1=\sqrt{10}=\sqrt{...+1}[/tex] ; [tex]u_2=\sqrt{11}=\sqrt{...+2}[/tex] etc...

Bonne recherche.

Mais on voit que[tex]u_0=3=\sqrt{9}[/tex] ; [tex]u_1=\sqrt{10}[/tex] ; [tex]u_2=\sqrt{11}[/tex] ; [tex]u_3=\sqrt{12}[/tex] mais après ça je ne sais pas!

Bonjour,

1) [tex]u^1=u[/tex] elle est dérivable. Sa dérivée est [tex]u^{,}[/tex] que l'on peut encore écrire [tex]1u^{,}~u^{0}[/tex].
pour l'hérédité pense que [tex]u^{n+1}=u^n\times{u}[/tex] et utilises la formule permettant de calculer la dérivée d'un produit de fonction.

3) Calcule trois ou quatre termes... Tu sais que [tex]u_0=3=\sqrt{9}[/tex]... Cette remarque devrait t'aider à conjecturer l'expression à démontrer.

Bonne continuation.

Bonjour,
Il y a une erreur!
2)On doit démontrer que pour tout n [tex]\in[/tex] [b]IN[/b], [tex]3^{n}\geq(n)^{2}[/tex]
Mais pour les deux autres, je ne vois pas comment faire!

Bonsoir,
On reprend : pour prouver au rang n+1, sachant que le rang n est vrai, on évalue la différence : [tex]3^{n+1}-(n+2)^2[/tex]
On écrit ensuite [tex]3^{n+1}-(n+2)^2=3\times3^n-(n+2)^2[/tex], or l'hypothèse de récurrence dit que [tex]3^n>(n+1)^2[/tex] donc on a [tex]3^{n+1}-(n+2)^2>3\times(n+1)^2-(n+2)^2[/tex]
Tu développes ce dernier trinôme en n et tu étudies son signe et tu dois en déduire que c'est positif sur les entiers supérieurs à 1

Bonjour,
[quote="SoS-Math(4)"]Or : 3^n>(n+1)^2 donc l'expression précédente est donc plus petite que : (n+1)^2.3-n^2-4n-4=2n^2+2n-1[/quote]
Je ne comprends pas!

Bonsoir,

Ce sont des exercices sur la récurrence.
Ton professeur a fait le cours , je suppose et il a également exposé des exemples pour expliquer. Donc tu dois t'en inspirer.

Je vais reprendre la 2eme question., en détail:

Montrer que pour tout entier n, [tex]3^n>=(n+1)^2[/tex]
[u]Initialisation [/u]: on vérifie si c'est vraie pour n=0. c'est vraie car 1>=1

[u]hérédité :[/u] supposons que la formule est vraie pour [u]une[/u] valeur n . Donc [tex]3^n>(n+1)^2[/tex].

On vérifie que la formule est vraie pour n+1.

On va donc devoir comparer le nombre [tex]3^{n+1}[/tex] avec le nombre [tex](n+2)^2[/tex]
On fait donc la différence : [tex]3^{n+1}-(n+2)^2=3.3^n-n^2-4n-4[/tex]

Or : [tex]3^n>(n+1)^2[/tex] donc l'expression précédente est donc plus petite que : [tex](n+1)^2.3-n^2-4n-4=2n^2+2n-1[/tex]

On calcule delta =9 et on s'apperçoit que pour n>=1, l'expression est positive .
Donc la différence est positive .
Donc [tex]3^{n+1}>=(n+2)^2[/tex]

On a donc montré que la formule est héréditaire à partir de n=1.

[u]LE PROBLEME[/u] : C'est que la formule est fausse pour n=1 . En effet 3^1=3 et (1+1)²=4 et 3<4. ( donc il y a une erreur dans l'énoncé)
Par contre la formule est vraie pour n=2.

Donc finalement on peut dire que cette formule est vraie pour n=0 puis pour n>=2.

Non courage

sosmaths

Bonjour,
Je ne comprends pas ce que vous avez fait!

Bonsoir Bastien,

Tu dois vérifier que la propriété est vraie pour le rang 0 ou le rang 1 cela dépend du début puis démontrer que la propriété est vraie au rang [tex]n+1[/tex] si elle est supposée vraie au rang n, cela s'appelle l'hérédité.
1) [tex]u^1=u[/tex] elle est dérivable. pour l'hérédité pense que [tex]u^{n+1}=u^n\times{u}[/tex] et applique ce que tu sais sur un produit de fonction.

2) [tex]3^0=1^2=1[/tex] au rang 0 la propriété est vraie, pour l'hérédité multiplie [tex]3^{n}\geq(n+1)^{2}[/tex] par 3 puis compare [tex]3(n+1)^2[/tex] et [tex](n+1+1)^2[/tex] et conclus.

3) Pense que [tex]u_0=\sqrt{9}[/tex], calcule [tex]u_1[/tex] puis [tex]u_2[/tex] et conclus.


Bon courage

Bonjour, je suis bloqué sur un exercice,j'espère que vous pourrez m'aider, merci d'avance.
1)Démontrer que si [i]u[/i] est dérivable sur un intervalle [i]I[/i], alors pour tout [i]n[/i] [tex]\in[/tex] [i]IN[/i], [tex]u^{n}[/tex] est dérivable sur I de dérivé nu'[tex]u^{n-1}[/tex].
2)Démontrer que pour tout [i]n[/i] [tex]\in[/tex] [i]IN[/i], [tex]3^{n}[/tex][tex]\geq[/tex][tex](n+1)^{2}[/tex].
3)Conjecturer l'expression explicite de ([tex]u_{n}[/tex]), n [tex]\in[/tex] IN définie par [tex]u_{0}[/tex]=3 et [tex]u_{n+1}[/tex]=[tex]\sqrt{1+u_{n}^{2}}[/tex], puis prouver la conjecture.
Si quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider, je lui remercie d'avance!