par Théophraste » dim. 18 sept. 2011 19:38
Bonjour,
Je vous saurais gré d'avoir l'amabilité de m'aider à resoudre un exercice suivant:
« Soit deux rationnels positifs a et b, tels que
\(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{ab}\) est aussi rationnel.
Montrer, q'alors \(\sqrt{a}\) et \(\sqrt{b}\) sont rationnels. »
J'arrive à démontrer que si \(\sqrt{a}\) est rationnel, alors \(\sqrt{b}\) en est aussi:
Supposons, que \(\sqrt{a} \in \mathbb{Q}\). alors \(\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{ab})= a + \sqrt{ab}(1+\sqrt{a}) \in \mathbb{Q}\), d'où \(\sqrt{ab} \in \mathbb{Q}\) et finalement \(\sqrt{b} \in \mathbb{Q}\).
Arrivé ici, je pense qu'il faudrait effectuer un raisonnemet par l'absurde, mais là je bloque...
Merci d'avance pour votre aide,
Théophraste.
Bonjour,
Je vous saurais gré d'avoir l'amabilité de m'aider à resoudre un exercice suivant:
« Soit deux rationnels positifs [b]a[/b] et [b]b[/b], tels que
[tex]\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{ab}[/tex] est aussi rationnel.
Montrer, q'alors [tex]\sqrt{a}[/tex] et [tex]\sqrt{b}[/tex] sont rationnels. »
J'arrive à démontrer que si [tex]\sqrt{a}[/tex] est rationnel, alors [tex]\sqrt{b}[/tex] en est aussi:
Supposons, que [tex]\sqrt{a} \in \mathbb{Q}[/tex]. alors [tex]\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{ab})= a + \sqrt{ab}(1+\sqrt{a}) \in \mathbb{Q}[/tex], d'où [tex]\sqrt{ab} \in \mathbb{Q}[/tex] et finalement [tex]\sqrt{b} \in \mathbb{Q}[/tex].
Arrivé ici, je pense qu'il faudrait effectuer un raisonnemet par l'absurde, mais là je bloque...
Merci d'avance pour votre aide,
Théophraste.
