par sos-math(21) » dim. 18 déc. 2022 09:54
Bonjour,
quand tu résous f(x)=y, tu arrives à x(2−y)=5y+3 : tu ne peux diviser que si 2−y≠0.
Donc pour y=2, l'équation n' a pas de solution et pour y≠2, l'équation a une seule solution x=5y+32−y.
Donc au final, l'équation f(x)=y a au plus une solution donc pour toute valeur de y de l'ensemble d'arrivée, f a au plus un antécédent, donc f est injective.
Une autre manière de montrer l'injectivité, est de montrer que si f(x)=f(x′) alors x=x′ :
on part de 2x−3x+5=2x′−3x′+5.
En calculant les produits en croix et en développant, on a 2xx′+10x−3x′−15=2xx′−3x+10x′−15, on peut simplifier et réduire :
10x−3x′=−3x+10x′, qui donne 13x−13x′=0 soit 13(x−x′)=0 donc x=x′.
Pour la suite, l'équation f(x)=2 mène à ce que tu as obtenu 2x−3=2x+10 soit en simplifiant −3=10 ce qui est faux donc l'équation n'a pas de solution.
Ainsi avec cet exemple, tu montres que f n'est pas surjective car il existe un élément de l'ensemble d'arrivée qui n'a pas d'antécédent.
Ainsi, f n'étant pas surjective, elle n'est pas bijective.
Est-ce plus clair ?
Bonjour,
quand tu résous f(x)=y, tu arrives à x(2−y)=5y+3 : tu ne peux diviser que si 2−y≠0.
Donc pour y=2, l'équation n' a pas de solution et pour y≠2, l'équation a une seule solution x=5y+32−y.
Donc au final, l'équation f(x)=y a au plus une solution donc pour toute valeur de y de l'ensemble d'arrivée, f a au plus un antécédent, donc f est injective.
Une autre manière de montrer l'injectivité, est de montrer que si f(x)=f(x′) alors x=x′ :
on part de 2x−3x+5=2x′−3x′+5.
En calculant les produits en croix et en développant, on a 2xx′+10x−3x′−15=2xx′−3x+10x′−15, on peut simplifier et réduire :
10x−3x′=−3x+10x′, qui donne 13x−13x′=0 soit 13(x−x′)=0 donc x=x′.
Pour la suite, l'équation f(x)=2 mène à ce que tu as obtenu 2x−3=2x+10 soit en simplifiant −3=10 ce qui est faux donc l'équation n'a pas de solution.
Ainsi avec cet exemple, tu montres que f n'est pas surjective car il existe un élément de l'ensemble d'arrivée qui n'a pas d'antécédent.
Ainsi, f n'étant pas surjective, elle n'est pas bijective.
Est-ce plus clair ?