Bonjour,
c'est vrai qu'il n'est pas précisé que $h>0$ : je suis allé un peu vite.
On reprend en partant de $x\geqslant -1$ donc $x+1\geqslant 0$ donc par croissance de la fonction racine carrée, on a $\sqrt{x+1}\geqslant \sqrt{0}$ soit $\sqrt{x+1}\geqslant 0$
De même, en partant de $x\geqslant -1$, on a $1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5$
En faisant la somme, on a $\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5$
Donc en prenant l'inverse, on a $\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant \dfrac{1}{0,5}$ donc $\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant 2$
Cela devrait te permettre de conclure.
Bon calcul

sos-math(21) a écrit : ↑

ven. 14 janv. 2022 13:27

Bonjour,
comme on te dit que $|x|<1$, cela signifie que $-1<x<1$, donc $x>-1$.
En partant de cette inégalité, cela permet de minorer le dénominateur pour majorer le quotient.
Bonne continuation

sos-math(21) a écrit : ↑

sam. 8 janv. 2022 21:22

Bonjour,
c'est vrai qu'il n'est pas précisé que $h>0$ : je suis allé un peu vite.
On reprend en partant de $x\geqslant -1$ donc $x+1\geqslant 0$ donc par croissance de la fonction racine carrée, on a $\sqrt{x+1}\geqslant \sqrt{0}$ soit $\sqrt{x+1}\geqslant 0$
De même, en partant de $x\geqslant -1$, on a $1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5$
En faisant la somme, on a $\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}\geqslant 0,5$
Donc en prenant l'inverse, on a $\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant \dfrac{1}{0,5}$ donc $\dfrac{1}{\sqrt{x+1} + 1+\dfrac{x}{2}}\leqslant 2$
Cela devrait te permettre de conclure.
Bon calcul

sos-math(21) a écrit : ↑

sam. 8 janv. 2022 19:33

Bonjour,
sur ce forum, la politesse est de rigueur : un premier message commence par "bonjour" et se termine par "merci".
D'autre part, nous répondons à des questions d'élèves ayant cherché au préalable leurs exercices.
Je vous invite donc à reformuler votre message et à préciser où est votre difficulté.
Pour ce qui est de votre demande, je vous conseille de multiplier par la quantité conjuguée :
$\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)=\dfrac{\left[\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)\right]\left[\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)\right]}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}=\dfrac{\sqrt{1+h}^2-\left(1+\frac{h}{2}\right)^2}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}$
Ce qui donne :
$\sqrt{1+h}-\left(1+\frac{h}{2}\right)=\dfrac{1+h-h-1-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}=\dfrac{-\frac{h^2}{4}}{\sqrt{1+h}+\left(1+\frac{h}{2}\right)}$
sachant que $h>0$, tu dois pouvoir minorer le dénominateur par 2 pour majorer la valeur absolue de la fraction par $\dfrac{h^2}{8}$
Je te laisse terminer