Thanks

Bonjour,
oui, c'est cela, il faut juste revoir la conclusion : l'ensemble cherché est l'ensemble des polynômes de degré 2 définis pour tout $x\in\mathbb{R}$ par $f(x)=ax^2+b$, $a,b\in\mathbb{R}$. Dans ta conclusion, tu définissait ta solution par les réels $a$ et $b$ alors que c'est le polynôme qui est solution.
Si tu veux écrire cela sous forme ensembliste, il faudrait écrire : $\left\lbrace f\in\mathbb{R}_2[X], \exists\, (a,b)\in\mathbb{R}^2, \forall x\in\mathbb{R},\, f(x)=ax^2+b\right\rbrace$
Bonne continuation

Du coup pour la dernière intersection si l'on dit que [TeX]f'(x) = 2ax + b[/TeX], si [TeX]b = 0[/TeX], pour n'importe quelle valeur de [TeX]a[/TeX], [TeX]f'(0) = 0[/TeX], mais si [TeX]b \neq 0[/TeX] et éventuellement [TeX]a = 0[/TeX] l'égalité n'est plus vraie pour n'importe quel [TeX]x[/TeX], ainsi il faut que [TeX]f'(x) = 2ax[/TeX] donc [TeX]\mathbb{R}_{2}[X] \cap D_{0} = \left\{a,b\in \mathbb{R} | f(x) = ax^2 + b \right\}[/TeX]

Bonjour,
oui pour $\mathbb{R}_1[X]\cap D_0=\mathbb{R}_0[X]$ mais pas d'accord pour l'intersection avec $\mathbb{R}_2[X]$ : si tu prends par exemple la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+5$, alors $f\in\mathbb{R}_2[X]$ et $f'(x)=2x$ donc $f'(0)=0$. Ainsi, $f\in\mathbb{R}_2[X]\cap D_0$ et $f$ n'est pas constante.
Reprends cette dernière intersection.

Bonjour,
Effectivement, donc si l'on dit que si [TeX] f\in \mathbb{R}_{0}[X][/TeX] alors [TeX]f'(0) = 0[/TeX], pour n'importe quel réel, donc [TeX]\mathbb{R}_{0}[X] \cap D_{0} = \mathbb{R}_{0}[X][/TeX], que de la même manière pour [TeX]f \in \mathbb{R}_{1}[X][/TeX], on a [TeX]f'(x) = a[/TeX], en particulier [TeX]f'(0) = 0[/TeX] si [TeX]a = 0[/TeX], donc l'intersection est décrite par l'ensemble des fonctions constantes [TeX]i.e[/TeX], [TeX]\mathbb{R}_{1}[X] \cap D_{0} = \mathbb{R}_{0}[X][/TeX], enfin pour [TeX]\mathbb{R}_{2}[X][/TeX], [TeX]f'(x) = 2ax + b[/TeX] et [TeX]f'(0) = b[/TeX], [TeX]f'(0) = 0[/TeX] si [TeX]b=0[/TeX], donc à nouveau [TeX]\mathbb{R}_{2}[X] \cap D_{0} = \mathbb{R}_{0}[X][/TeX]

Bonjour,
je ne suis pas sûr que cet exercice soit du niveau seconde.
Je ne suis pas d'accord avec ton raisonnement. En effet, toute fonction constante vérifie $f'(0)=0$ donc appartient à $D_0$. Ainsi $\mathbb{R}_0[X]\subset D_0$ et $D_0\cap\mathbb{R}_0[X]=\mathbb{R}_0[X]$.
Je t'invite à reprendre les autres intersections qui me semblent erronées.
Bonne continuation

Bonjour, pourriez-vous me dire si la solution que j'ai apportée au problème ci-dessous est correcte ? En vous remerciant.

[i]On définit [TeX]D_{0} := \left\{f \in \mathbf{D}(\mathbb{R},\mathbb{R}), f'(0) = 0\right\}[/TeX]. Quelle est l'intersection entre [TeX]D_{0}[/TeX] et [TeX]\mathbb{R}_{2}[X],\mathbb{R}_{1}[X],\mathbb{R}_{0}[X][/TeX][/i] ?

En premier lieu [TeX]\mathbb{R}_{2}[X] := \left\{a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{R} | f(x) = a_{1}x^2 + a_{2}x + a_{3} \right\}[/TeX]. Dès lors on peut remarque que [TeX]\mathbb{R}_{0}[X] \subseteq \mathbb{R}_{1}[X] \subseteq \mathbb{R}_{2}[X][/TeX] (1). Pour être le plus général possible, on prend la fonction f que l'on a définie précédemment, tout d'abord [TeX]f \in \mathbb{\mathbf{D}(\mathbb{R},\mathbb{R})}[/TeX], ensuite [TeX]f'(x) = 2a_{1}x + a_{2}[/TeX], soit alors [TeX]f'(0) = 0 \iff a_{2} = 0[/TeX], finallement de (1), il vient [TeX]D_{0} \cap \mathbb{R}_{2}[X] = D_{0} \cap \mathbb{R}_{1}[X] = D_{0} \cap \mathbb{R}_{0}[X] = \left\{0 \right\}[/TeX]