par sos-math(21) » ven. 18 févr. 2022 09:29
Bonjour,
on va faire un exemple pour que tu comprennes,
On va montrer que la fonction \(f\), définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2-5\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
On prend deux nombres réels quelconques \(a\) et \(b\) de l'intervalle \([0\,;\,+\infty[\) et on suppose par exemple que \(a<b\).
Comme on est sur l'intervalle \([0\,;\,+\infty[\) et qu'on sait que la fonction carré est croissante sur cet intervalle, on peut prendre les carrés de chaque côté de l'inégalité sans changer le sens de l'inégalité : une fonction croissante respecte l'ordre des inégalités donc \(a^2<b^2\).
Ensuite, on soustrait 5 à chaque membre, ce qui ne change pas l'ordre : on ne change pas l'ordre d'une inégalité lorsqu'on additionne ou on soustrait un même nombre aux deux membres de l'inégalité.
On obtient donc \(a^2-5<b^2-5\).
Finalement on a montré que \(a<b\Longrightarrow f(a)<f(b)\) sur l'intervalle \([0\,;\,+\infty[\), ce qui prouve bien que la fonction \(f\) est croissante sur cet intervalle.
Est-ce plus clair ?
Bonjour,
on va faire un exemple pour que tu comprennes,
On va montrer que la fonction \(f\), définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^2-5\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
On prend deux nombres réels quelconques \(a\) et \(b\) de l'intervalle \([0\,;\,+\infty[\) et on suppose par exemple que \(a<b\).
Comme on est sur l'intervalle \([0\,;\,+\infty[\) et qu'on sait que la fonction carré est croissante sur cet intervalle, on peut prendre les carrés de chaque côté de l'inégalité sans changer le sens de l'inégalité : une fonction croissante respecte l'ordre des inégalités donc \(a^2<b^2\).
Ensuite, on soustrait 5 à chaque membre, ce qui ne change pas l'ordre : [i]on ne change pas l'ordre d'une inégalité lorsqu'on additionne ou on soustrait un même nombre aux deux membres de l'inégalité[/i].
On obtient donc \(a^2-5<b^2-5\).
Finalement on a montré que \(a<b\Longrightarrow f(a)<f(b)\) sur l'intervalle \([0\,;\,+\infty[\), ce qui prouve bien que la fonction \(f\) est croissante sur cet intervalle.
Est-ce plus clair ?
