Re-bonjour,
Je vais essayer de t'aider en imaginant la figure,
On fait d'abord la remarque suivante sur le cercle inscrit : c'est le point d'intersection des bissectrices donc il est tangent aux trois côtés du triangle comme sur la figure ci-dessous :
de sorte que\(r=IL=IH=IK\).
De plus le quadrilatère HILA a trois angles droits donc c'est un rectangle et comme il a deux consécutifs de la même longueur, c'est aussi un losange : finalement c'est un carré donc
\(r=AL=AH\)
De plus, les quadrilatères CLIK et BHIK sont des cerfs-volants donc \(CL=CK=CA-r\) et \(BK=BH=AB-r\).
Calcule le périmètre de ABC en décomposant ainsi \(\mathcal{P}=AB+BC+CA=AH+BH+BK+KC+CL+LA=2r+2(AB-r)+2(AC-r)\) donc
\(AB+BC+CA=2r+2(AB-r)+2(AC-r)\) et \(r=\frac{1}{2}\left(....\right)\)
C'est peut-être un peu compliqué, mais cela permettrait de répondre à la question.
Pour l'aire de deux façons, tu pourrais ensuite décomposer le triangle en trois triangles AIC, AIB et BIC, qui ont tous pour base un des côtés du triangle et pour hauteur associée la rayon du cercle inscrit \(r\), d'où une formule de l'aire avec \(r\).
Bon courage
